高等数学 综合能力测试（共 100 分）

命题组：海南省BIM中心整理 | 适用范围：专升本/考研数学基础

一、单选题（共 12 题，每题 2 分，共 24 分）

1. 设函数 $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{\ln(2-x)}$，则其定义域为（ ）
   A. $[1, 2)$ B. $(1, 2)$ C. $(-\infty, -1] \cup [1, 2)$ D. $(-\infty, -1] \cup [1, 2]$
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   答案：C

   解析：1. 根号下需大于等于0：$x^2-1 \ge 0 \Rightarrow x \le -1$ 或 $x \ge 1$。

   2. 对数真数大于0：$2-x > 0 \Rightarrow x < 2$。

   3. 分母不能为0：$\ln(2-x) \neq 0 \Rightarrow 2-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$。

   4. 取交集得：$(-\infty, -1] \cup (1, 2)$。但由于 $x \ge 1$ 且 $x \neq 1$，结合 $x < 2$ 得到 $(1, 2)$。最终并集为 $(-\infty, -1] \cup (1, 2)$。
2. 当 $x \to 0$ 时，$x - \sin x$ 是 $x$ 的（ ）
   A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 等价无穷小 D. 同阶但非等价无穷小
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   答案：A

   解析：利用泰勒展开式 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$。

   则 $x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$。

   因为 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3/6}{x} = 0$，所以是高阶无穷小。
3. 已知 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{e^{2x}-1} = 2$，则常数 $a$ 的值为（ ）
   A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
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   答案：C

   解析：当 $x \to 0$ 时，$\sin ax \sim ax$，$e^{2x}-1 \sim 2x$。

   原极限 $= \lim_{x \to 0} \frac{ax}{2x} = \frac{a}{2}$。

   由 $\frac{a}{2} = 2$ 得 $a = 4$。
4. 设函数 $f(x) = |x|$，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）
   A. 极限不存在 B. 不连续 C. 连续但不可导 D. 可导
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   答案：C

   解析：1. 连续性：$\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$，连续。

   2. 可导性：左导数 $f'_-(0)=-1$，右导数 $f'_+(0)=1$，左右导数不等，故不可导。
5. 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_a^b f(x)dx$ 与 $\int_a^b f(t)dt$ 的关系是（ ）
   A. 相等 B. 不相等 C. 符号相反 D. 无法确定
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   答案：A

   解析：定积分的结果是一个数值，其大小仅取决于被积函数形式和积分上下限，与积分变量使用的字母无关（哑变量性质）。
6. 若当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+kx)$ 与 $2x$ 是等价无穷小，则 $k = $（ ）
   A. 1 B. 2 C. 1/2 D. -2
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   答案：B

   解析：由于 $\ln(1+u) \sim u$，则 $\ln(1+kx) \sim kx$。

   因为 $kx \sim 2x$，所以 $k=2$。
7. 设函数 $f(x) = \int_0^x (t-1)dt$，则 $f(x)$ 的极小值点为（ ）
   A. $x=0$ B. $x=1$ C. $x=-1$ D. 不存在
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   答案：B

   解析：由变上限积分求导定理，$f'(x) = x-1$。

   令 $f'(x)=0$ 得驻点 $x=1$。

   当 $x<1$ 时，$f'(x)<0$；当 $x>1$ 时，$f'(x)>0$。故 $x=1$ 是极小值点。
8. 设 $\vec{a} = (1, 2, -2)$，则其单位向量 $\vec{a}^0 = $（ ）
   A. $(1/3, 2/3, -2/3)$ B. $(1/9, 2/9, -2/9)$ C. $(1, 1, 1)$ D. $(1/3, 1/3, -1/3)$
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   答案：A

   解析：向量的模 $|\vec{a}| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{9} = 3$。

   单位向量 $\vec{a}^0 = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = (1/3, 2/3, -2/3)$。
9. 函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 的单调递增区间是（ ）
   A. $(-1, 1)$ B. $(-\infty, -1)$ C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ D. $(1, +\infty)$
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   答案：C

   解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$。令 $f'(x) > 0 \Rightarrow 3(x-1)(x+1) > 0$。

   解得 $x > 1$ 或 $x < -1$。
10. 反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ 收敛的充要条件是（ ）
    A. $p > 1$ B. $p \ge 1$ C. $p < 1$ D. $p > 0$
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    答案：A

    解析：这是$P$-级数对应的反常积分结论。当 $p>1$ 时收敛，当 $p \le 1$ 时发散。
11. 设 $z = x^y$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = $（ ）
    A. $yx^{y-1}$ B. $x^y \ln x$ C. $x^y \ln y$ D. $yx^{y}$
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    答案：A

    解析：对 $x$ 求偏导时将 $y$ 看作常数，按幂函数求导公式计算得 $yx^{y-1}$。
12. 微分方程 $y' - y = 0$ 的通解为（ ）
    A. $y = e^x$ B. $y = Cx$ C. $y = Ce^x$ D. $y = e^{Cx}$
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    答案：C

    解析：这是最基本的可分离变量方程。$\frac{dy}{y} = dx \Rightarrow \ln|y| = x + C_1 \Rightarrow y = Ce^x$。

二、填空题（共 10 题，每题 2 分，共 20 分）

13. 极限 $\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = \underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：$e^3$

    解析：利用重要极限 $\lim_{u \to 0} (1+u)^{\frac{1}{u}} = e$。

    原式 $= \lim_{x \to 0} [(1+3x)^{\frac{1}{3x}}]^3 = e^3$。
14. 已知 $y = x^x$，则 $dy = \underline{\hspace{12em}}$。
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    答案：$x^x(1 + \ln x)dx$

    解析：取对数得 $\ln y = x \ln x$。

    两边对 $x$ 求导：$\frac{1}{y} y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$。

    $y' = y(1 + \ln x) = x^x(1 + \ln x)$，故 $dy = x^x(1 + \ln x)dx$。
15. 不定积分 $\int \frac{1}{x^2+4} dx = \underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：$\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C$

    解析：利用基本积分公式 $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$。此处 $a=2$。
16. 已知 $\int f(x) dx = \sin x + C$，则 $f(x) = \underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：$\cos x$

    解析：由定义知 $f(x) = (\sin x + C)' = \cos x$。
17. 设 $y = \ln(1+x^2)$，则 $y''(0) = \underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：2

    解析：$y' = \frac{2x}{1+x^2}$。

    $y'' = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}$。代入 $x=0$ 得 2。
18. 函数 $y = \ln x$ 在 $x=e$ 处的切线方程为 $\underline{\hspace{12em}}$。
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    答案：$x - ey = 0$

    解析：点 $(e, 1)$，$y' = 1/x$，斜率 $k = 1/e$。

    切线方程：$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e) \Rightarrow y = \frac{1}{e}x \Rightarrow x - ey = 0$。
19. 设 $y = \sin(x^2)$，则 $dy = \underline{\hspace{10em}}$。
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    答案：$2x\cos(x^2)dx$

    解析：$y' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x\cos(x^2)$。
20. 定积分 $\int_{-1}^1 (x^3 + \cos x) dx = \underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：$2\sin 1$

    解析：利用奇偶性。$x^3$ 是奇函数，在对称区间积分为0。$\cos x$ 是偶函数。

    原式 $= 0 + 2\int_0^1 \cos x dx = 2[\sin x]_0^1 = 2\sin 1$。
21. 已知 $\int f(x) dx = \sin x + C$，则 $f(x) = \underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：$\cos x$

    解析：由定义知 $f(x) = (\sin x + C)' = \cos x$。
22. 设 $y = \ln(1+x^2)$，则 $y''(0) = \underline{\hspace{8em}}$。
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    答案：2

    解析：$y' = \frac{2x}{1+x^2}$。

    $y'' = \frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}$。代入 $x=0$ 得 2。

三、综合题（共 8 题，每题目6分，共 48 分）

23. （10分）设 $z = e^{xy} + \sin(x+y)$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。
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    解析：

    1. 对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy} + \cos(x+y)$。

    2. 对 $y$ 求二阶混合偏导：$\frac{\partial}{\partial y}(ye^{xy} + \cos(x+y)) = 1 \cdot e^{xy} + y \cdot (xe^{xy}) - \sin(x+y)$。

    整理得：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = (1+xy)e^{xy} - \sin(x+y)$。
24. 求极限 $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x $。
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    答案：$e^{-2}$

    解析：利用重要极限公式 $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = e^k$。此处 $k=-2$。
25. 计算定积分 $\int_0^1 x e^x dx$。
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    答案：1

    解析：使用分部积分法。设 $u=x, dv=e^x dx$，则 $du=dx, v=e^x$。

    $\int_0^1 x e^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx$。

    $= (1 \cdot e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - e^0) = 1$。
26. 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$。
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    答案：1/6

    解析：方法一：洛必达法则。$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}$。

    方法二：泰勒展开。$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，代入得 $\lim \frac{x^3/6}{x^3} = 1/6$。
27. 设 $z = e^{x^2+y^2}$，求 $dz$。
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    解析：

    1. 求全微分公式：$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。

    2. 分别求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xe^{x^2+y^2}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = 2ye^{x^2+y^2}$。

    3. 结论：$dz = e^{x^2+y^2}(2xdx + 2ydy)$。
28. 计算不定积分 $\int x \ln x dx$。
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    答案：$\frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C$

    解析：使用分部积分法。设 $u = \ln x, dv = x dx \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx, v = \frac{1}{2}x^2$。

    原式 $= \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2}\int x dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C$。
29. 计算定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx$。
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    答案：$2 - 2\ln 2$

    解析：换元法。令 $\sqrt{x} = t \Rightarrow x = t^2, dx = 2tdt$。范围 $[0, 1]$。

    原式 $= \int_0^1 \frac{2t}{1+t} dt = 2\int_0^1 \frac{t+1-1}{t+1} dt = 2 \int_0^1 (1 - \frac{1}{1+t}) dt = 2 [t - \ln(1+t)]_0^1 = 2(1 - \ln 2)$。
30. 求微分方程 $y' - \frac{2}{x}y = x^2$ 的通解。
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    答案：$y = x^3 + Cx^2$

    解析：一阶线性方程公式 $y = e^{-\int P dx} [ \int Q e^{\int P dx} dx + C ]$。

    $P(x) = -2/x, Q(x) = x^2$。$e^{\int -2/x dx} = x^{-2}, e^{-\int -2/x dx} = x^2$。

    $y = x^2 [ \int x^2 \cdot x^{-2} dx + C ] = x^2 [ \int 1 dx + C ] = x^2(x + C) = x^3 + Cx^2$。

四、应用题（共 1 题，共 8 分）

31. 计算由抛物线 $y = x^2 - 1$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所成的旋转体体积。
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    答案：$16\pi/15$

    解析：1. 求交点：$x^2-1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$。

    2. 旋转体体积公式 $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$。

    3. 计算：$V = \pi \int_{-1}^1 (x^2-1)^2 dx = \pi \int_{-1}^1 (x^4 - 2x^2 + 1) dx$。

    $= \pi [\frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x]_{-1}^1 = 2\pi (\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1) = 2\pi (\frac{3-10+15}{15}) = 2\pi \cdot \frac{8}{15} = \frac{16\pi}{15}$。